Bài 1:
Cho tứ diện (ABCD). Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (AC) và (BC). Trên đoạn (BD) lấy điểm (P) sao cho (BP = 3PD).
a) Tìm giao điểm của đường thẳng (CD) với mặt phẳng (left( {MNP} right)).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (left( {ABD} right)) và (left( {MNP} right)).
Hướng dẫn:
a) Trong (left( {BCD} right)) gọi (E = CD cap NP) thì
(left{ begin{array}{l}E in CDE in NP subset left( {MNP} right)end{array} right.)
( Rightarrow E = CD cap left( {MNP} right)).
b) Trong (left( {ACD} right)) gọi (Q = AD cap ME) thì ta có(left( {MNP} right) cap left( {ABD} right) = PQ)
Bài 2:
Cho tứ diện (ABCD). Gọi (I,J) lần lượt là trung điểm của (BC) và (BD), (E) là một điểm thuộc cạnh (AD)( (E) khác (A) và (D)).
a) Xác định thiết diện của tứ diện với (left( {IJE} right)).
b) Tìm vị trí của điểm (E) trên (AD) sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện (ABCD) và vị trí của điểm (E) trên (AD) sao cho thiết diện là hình thoi.
Hướng dẫn:
a) Ta có (left{ begin{array}{l}F in left( {IJF} right) cap left( {ACD} right)IJ subset left( {IJF} right),CD subset left( {ACD} right)IJparallel CDend{array} right. Rightarrow left( {IJF} right) cap left( {ACD} right) = FEparallel CDparallel IJ).
Thiết diện là tứ giác (IJEF).
b) Để thiết diện (IJEF) là hình bình hành thì (IJparallel = EF) mà (IJparallel = frac{1}{2}CD) nên (EFparallel = frac{1}{2}CD), hay (EF) là đường trung bình trong tam giác (ACD)ứng với cạnh (CD) do đó (E) là trung điểm của (AD).
c) Để thiết diện (IJEF) là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình hành, khi đó (E) là trung điểm của (AD). Mặt khác (IJEF) là hình thoi thì (IJ = IF), mà (IJ = frac{1}{2}CD,IF = frac{1}{2}AB Rightarrow AB = CD).
Vậy điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện (ABCD) có (AB = CD) và (E) là trung điểm của (AD).
Bài 3:
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành và (M,N,P) lần lượt là trung điểm các cạnh (AB,CD,SA).
a) Chứng minh (left( {SBN} right)parallel left( {DPM} right)).
b) (Q) là một điểm thuộc đoạn (SP)((Q) khác (S,P)). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (left( alpha right)) đi qua (Q) và song song với (left( {SBN} right)).
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (left( beta right)) đi qua (MN) song song với (left( {SAD} right)).
Hướng dẫn:
a) Ta có (left{ begin{array}{l}BNparallel DMDM subset left( {DPM} right)end{array} right. Rightarrow BNparallel left( {DPM} right){rm{ }}left( 1 right))Tương tự (left{ begin{array}{l}BSparallel MPMP subset left( {DPM} right)end{array} right. Rightarrow BSparallel left( {DPM} right){rm{ }}left( 2 right))
Từ (left( 1 right)) và (left( 2 right)) suy ra (left( {SBN} right)parallel left( {DPM} right)).
b) Ta có (left{ begin{array}{l}SB subset left( {SBN} right)left( alpha right)parallel left( {SBN} right)end{array} right. Rightarrow SBparallel left( alpha right)).
vậy(left{ begin{array}{l}Q in left( {SAB} right) cap left( alpha right)SB subset left( {SAB} right)SBparallel left( alpha right)end{array} right. Rightarrow left( {SAB} right) cap left( alpha right) = QRparallel SB,R in AB) .
Tương tự
(left( alpha right) cap left( {ABCD} right) = RKparallel BN,K in CD)
(left( alpha right) cap left( {SCD} right) = KLparallel SB,L in SD).
Vậy thiết diện là tứ giác (QRKL).
c)
Ta có (begin{array}{l}left{ begin{array}{l}M in left( beta right) cap left( {SAB} right)SAparallel left( beta right)SA subset left( {SAB} right)end{array} right. Rightarrow left( beta right) cap left( {SAB} right) = MFparallel SA,F in SBend{array})
Tương tự (left( beta right) cap left( {SCD} right) = NE//SD,E in SC).
Thiết diện là hình thang (MNEF).