Lý thuyết cấp số cộng

1. Định nghĩa

Dãy số (u_n) là một cấp số cộng nếu (u_{n+1}=u_n+ d) với mọi (nin {mathbb N}^*), (d) là hằng số.

(d = u_{n+1}-u_n) được gọi là công sai.

* (d = 0): CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số (3;6;9;12;15) là một cấp số cộng vì:

(begin{array}{l}6 = 3 + 39 = 6 + 312 = 9 + 315 = 12 + 3end{array})

Đây là CSC có công sai (d = 3) và số hạng đầu ({u_1} = 3).

2. Số hạng tổng quát

Kí hiệu: (u_n= u_1+ (n - 1)d, (n ≥ 2)). ( n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)

Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: (d = dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}).

Ví dụ:

Cho CSC (left( {{u_n}} right)) biết ({u_1} = - 1,d = 3). Tìm ({u_{20}}).

Ta có:

(begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + left( {20 - 1} right)d,,,,,,, = {u_1} + 19d,,,,,,, = - 1 + 19.3,,,,,,, = 56end{array})

3. Tính chất

( u_{k}=dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}) với (k ≥ 2) hay (u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k)

Ví dụ:

Cho ba số (3;x;9) theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm (x.)

Ta có: (x = dfrac{{3 + 9}}{2} = 6).

Vậy (x = 6).

4. Tổng (n) số hạng đầu

+) Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng: (S_n= dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}), với (nin {mathbb N}^*)

+) Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:

({S_n} = n{u_1} + dfrac{{nleft( {n - 1} right)}}{2}d)

({S_n} = dfrac{{nleft[ {2{u_1} + left( {n - 1} right)d} right]}}{2})

Ví dụ:

Cho CSC (left( {{u_n}} right)) thỏa mãn ({u_1} = - 1,d = 3). Tính ({S_{20}}.)

Ta có:

(begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + dfrac{{20.left( {20 - 1} right)}}{2}.d,,,,,,,, = 20.left( { - 1} right) + dfrac{{20.19}}{2}.3,,,,,,,, = 550end{array})

5. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Phương pháp:

- Bước 1: Tính (d = {u_n} - {u_{n - 1}},forall n ge 2).

- Bước 2: Kết luận:

+ Nếu (d) là số không đổi thì dãy (left( {{u_n}} right)) là cấp số cộng.

+ Nếu (d) thay đổi theo (n) thì dãy (left( {{u_n}} right)) không là cấp số cộng.

Dạng 2: Tìm công sai của cấp số cộng.

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát ({u_n} = {u_1} + left( {n - 1} right)d)

Dạng 4: Tính tổng (n) số hạng đầu tiên của dãy.

Phương pháp:

Sử dụng công thức ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = dfrac{{left( {{u_1} + {u_n}} right).n}}{2} = dfrac{{left[ {2{u_1} + left( {n - 1} right)d} right].n}}{2})

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Phương pháp chung:

- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu ({u_1}), công sai (d).

- Tìm công thức cho số hạng tổng quát ({u_n} = {u_1} + left( {n - 1} right)d).

6. Bài tập về cấp số cộng

Bài 1. Cho dãy số $dfrac{1}{2};0; - dfrac{1}{2}; - 1; - dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng với:

A. Số hạng đầu tiên là $dfrac{1}{2}$, công sai là $dfrac{1}{2}.$

B. Số hạng đầu tiên là $dfrac{1}{2}$, công sai là $ - dfrac{1}{2}.$

C. Số hạng đầu tiên là $0$, công sai là $dfrac{1}{2}.$

D. Số hạng đầu tiên là $0$, công sai là $ - dfrac{1}{2}.$

Lời giải: Ta có $dfrac{1}{2};0; - dfrac{1}{2}; - 1; - dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng ( Rightarrow left{ begin{array}{l}{u_1} = dfrac{1}{2}{u_2} - {u_1} = - dfrac{1}{2} = dend{array} right.)

Chọn đáp án B.

Bài 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

A. Dãy số (left( {{a_n}} right)) với ({a_n} = 3n - 5)

B. Dãy số (left( {{b_n}} right)) với ({b_n} = sqrt 3 - sqrt 5 n)

C. Dãy số (left( {{c_n}} right)) với ({c_n} = {n^2} - n)

D. Dãy số (left( {{d_n}} right)) với ({d_n} = 2017cot dfrac{{left( {4n - 1} right)pi }}{2} + 2018)

Lời giải: Đáp án A ta có ({a_{n + 1}} - {a_n} = 3left( {n + 1} right) - 5 - left( {3n - 5} right)) ( = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3 )

(Rightarrow left( {{a_n}} right)) là 1 CSC có công sai $d = 3.$

Đáp án B ta có ({b_{n + 1}} - {b_n} = left( {sqrt 3 - sqrt 5 left( {n + 1} right)} right) - left( {sqrt 3 - sqrt 5 n} right) ) (= sqrt 3 - sqrt 5 n - sqrt 5 - sqrt 3 + sqrt 5 n = - sqrt 5 )

(Rightarrow left( {{b_n}} right)) là 1 CSC có công sai (d = - sqrt 5 )

Đáp án C ta có ({c_{n + 1}} - {c_n} = {left( {n + 1} right)^2} - left( {n + 1} right) - {n^2} + n = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 - {n^2} + n = 2n Rightarrow left( {{c_n}} right)) không là CSC.

Đáp án D ta có (cot dfrac{{left( {4n - 1} right)pi }}{2} = 0,,forall n ge 1 Rightarrow {d_n} = 2018,,,forall n ge 1 Rightarrow {d_{n + 1}} - {d_n} = 0 Rightarrow left( {{d_n}} right)) là CSC có công sai $d = 0.$

Chọn đáp án C.

Bài 3. Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) xác định bởi ({u_3} = - 2) và ({u_{n + 1}} = {u_n} + 3,,,forall n in N^*.) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. ({u_n} = 3n - 11)

B. ({u_n} = 3n - 8)

C. ({u_n} = 2n - 8)

D. ({u_n} = n - 5)

Lời giải: ({u_{n + 1}} = {u_n} + 3 Rightarrow left( {{u_n}} right)) là CSC có công sai $d = 3.$

({u_3} = {u_1} + 2d) ( Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d = - 2 - 2.3 = - 8)

Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là ({u_n} = {u_1} + left( {n - 1} right)d = - 8 + left( {n - 1} right).3 = 3n - 11.)

Chọn đáp án A.

Bài 4. Cho cấp số cộng (left( {{x_n}} right)) có ({S_n} = 3{n^2} - 2n). Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.

A. ({u_1} = 2;d = 7)

B. ({u_1} = 1,d = 6)

C. ({u_1} = 1;d = - 6)

D. ({u_1} = 2;d = 6)

Lời giải: Ta có ({S_1} = 3.1 - 2.1 = 1 = {u_1},) ({S_2} = {3.2^2} - 2.2 = 8 = {u_1} + {u_2} ) (Rightarrow {u_2} = 7 Rightarrow d = {u_1} - {u_2} = 6)

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) có ({u_2} = 2017) và ({u_5} = 1945.) Tính ({u_{2018}}) .

A. ({u_{2018}} = - 46367)

B. ({u_{2018}} = 50449)

C. ({u_{2018}} = - 46391)

D. ({u_{2018}} = 50473)

Lời giải: (left{ begin{array}{l}{u_2} = 2017{u_5} = 1945end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_1} + d = 2017{u_1} + 4d = 1945end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_1} = 2041d = - 24end{array} right. Rightarrow {u_{2018}} = {u_1} + 2017d = 2041 + 2017left( { - 24} right) = - 46367)

Chọn đáp án A.

Bài 6. Cho cấp số cộng $6;x; - 2;y$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $x = 2,y = 5$

B. $x = 4,y = 6$

C. $x = 2,y = - 6$

D. $x = 4,y = - 6$.

Lời giải: Ta có (left{ begin{array}{l}6 - 2 = 2xx + y = - 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 2y = - 6end{array} right.)

Chọn đáp án C.

Bài 7. Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) với (left{ begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5{u_3}.{u_5} = 6end{array} right..) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A. $left[ begin{array}{l}{u_1} = 1{u_1} = 4end{array} right.$

B. $left[ begin{array}{l}{u_1} = 1{u_1} = - 4end{array} right.$

C. $left[ begin{array}{l}{u_1} = - 1{u_1} = 4end{array} right.$

D. $left[ begin{array}{l}{u_1} = - 1{u_1} = 1end{array} right.$

Lời giải: (left{ begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5{u_3}.{u_5} = 6end{array} right. Rightarrow {u_3},{u_5}) là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}X = 3X = 2end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{u_3} = 3{u_5} = 2end{array} right.left{ begin{array}{l}{u_3} = 2{u_5} = 3end{array} right.end{array} right.$

TH1 : (left{ begin{array}{l}{u_3} = 3{u_5} = 2end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3{u_1} + 4d = 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_1} = 4d = - dfrac{1}{2}end{array} right.)

TH2 : (left{ begin{array}{l}{u_3} = 2{u_5} = 3end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2{u_1} + 4d = 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_1} = 1d = dfrac{1}{2}end{array} right.)

Vậy $left[ begin{array}{l}{u_1} = 1{u_1} = 4end{array} right.$.

Chọn đáp án A.

Bài 8. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số (dfrac{1}{{x + y}},dfrac{1}{{y + z}},dfrac{1}{{z + x}}) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?

A. Ba số ({x^2},{y^2},{z^2}) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

B. Ba số ({y^2},{z^2},{x^2}) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

C. Ba số ({y^2},{x^2},{z^2}) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

D. Ba số ({z^2},{y^2},{x^2}) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Lời giải: Ta có

(dfrac{1}{{x + y}} + dfrac{1}{{z + x}} = 2dfrac{1}{{y + z}} Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2left( {xz + {x^2} + yz + xy} right) Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2})

Vậy ba số ({y^2},{x^2},{z^2}) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Chọn đáp án C.

Bài 9. Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :

A. $6, 9, 12, 15, 18, 21$

B. $21, 18, 15, 12, 9, 6 $

C. (dfrac{{13}}{2}), (10), (dfrac{{27}}{2}), (17), (dfrac{{41}}{2}), (24)

D. (dfrac{{16}}{3}), (dfrac{{23}}{3}), (dfrac{{37}}{3}), (dfrac{{44}}{3}), (dfrac{{58}}{3}), (dfrac{{65}}{3})

Lời giải: (left{ begin{array}{l}{u_1} = 3{u_8} = 24 = {u_1} + 7dend{array} right. Rightarrow 24 = 3 + 7d Rightarrow d = 3 Rightarrow ) Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$.

Chọn đáp án A.

Bài 10. Nghiệm của phương trình $1 + 7 + 13 + ldots + x = 280$ là:

A. $x = 53$

B. $x = 55$

C. $x = 57$

D. $x = 59$

Lời giải: Ta thấy tổng $1 + 7 + 13 + ldots + x$ là tổng của cấp số cộng với ({u_1} = 1,d = 6).

Giả sử $x$ là số hạng thứ $n$, khi đó (x = {u_1} + left( {n - 1} right)d = 1 + left( {n - 1} right)6), và $begin{array}{l}1 + 7 + 13 + ldots + x = dfrac{{nleft( {2{u_1} + left( {n - 1} right)d} right)}}{2} = dfrac{{nleft( {2 + left( {n - 1} right).6} right)}}{2} = 280 Rightarrow 2n + 6nleft( {n - 1} right) = 560 Leftrightarrow 6{n^2} - 4n - 560 = 0 Leftrightarrow n = 10end{array}$

Vậy (x = 1 + 9.6 = 55).

Chọn đáp án B.