Phần 1
Mệnh đề - Tập hợp
1.Mệnh đề
- Mệnh đề là những khẳng định có tính đúng(Đ) hoặc sai(S).
Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
- Phủ định của một mệnh đề (A) là mệnh đề (overline A ).
+(overline A ) đúng nếu (A) sai.
+(overline A ) sai nếu (A) đúng.
- Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề kéo theo (A Rightarrow B) chỉ sai khi (A) đúng,(B) sai
+(B Rightarrow A) là mệnh đề đảo của (A Rightarrow B).
+ Nếu (A Rightarrow B) đúng thì (A)là điều kiện đủ để có (B)và (B) là điều kiện cần để có (A).
- Mệnh đề tương đương:
+ Mệnh đề tương đương (A Leftrightarrow B) là một mệnh đề đúng nếu (A) và (B) cùng đúng hoặc cùng sai.
+ Nếu (A Leftrightarrow B) đúng thì:
- (A Rightarrow B) là định lí thuận
- (B Rightarrow A) là định lí đảo
- (A Leftrightarrow B) là định lí thuận đảo
- (A) là điều kiện cần và đủ để có (B)
- (B) là điều kiện cần và đủ để có (A)
- Mệnh đề chứa biến, kí hiệu p(x)
- Mệnh đề chứa biến p(x) là một phát biểu có liên quan đến đại lượng thay đổi x.
- p(x) là một mệnh đề nếu ta cho x một giá trị nhất định.
- Mệnh đề với mọi: (forall x in X:p(x))
- Mệnh đề tồn tại: (exists x in X:p(x))
- Phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Để chứng minh P đúng, ta giả sử P sai rồi sử dụng lập luận toán học để suy ra mâu thuẫn.
Các dạng toán thường gặp
1. Dạng 1: Định giá trị của một mệnh đề
Phương pháp
- Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề.
- Mệnh đề chứa biến: Tìm tập hợp (D) của các biến (x) để (p(x)) đúng hoặc sai.
2. Dạng 2: Phát biểu định lí dưới dạng điều kiện cần, đủ
Phương pháp
Nếu (A Rightarrow B) đúng: (A) là điều kiện đủ để có (B)
Nếu (B Rightarrow A) sai: (B) là điều kiện cần để có (A)
Nếu (A Rightarrow B) đúng và (B Rightarrow A) đúng: (A) là điều kiện cần và đủ để có (B).
3. Dạng 3: Tìm mệnh đề phủ định
Phương pháp
1) (overline {A wedge B} Leftrightarrow overline A vee overline B )
(overline {A vee B} Leftrightarrow overline A wedge overline B )
2) (overline {forall x in D:p(x)} Leftrightarrow exists x in D:overline {p(x)} )
(overline {exists x in D:p(x)} Leftrightarrow forall x in D:overline {p(x)} )
4. Dạng 4: Chứng minh định lí (A Rightarrow B)
Phương pháp:
Cách 1: Chứng minh trực tiếp
Ta giả thiết A đúng, sử dụng giả thiết và suy luận toán học để dẫn đến B đúng.
Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng
Ta giả thiết B sai, sử dụng suy luận toán học để dẫn đến A sai.
2.Tập hợp và các phép toán trên các tập hợp
Tập con: (A subset B Leftrightarrow forall x,x in A Rightarrow x in B).
Hai tập hợp bằng nhau: (A = B Leftrightarrow A subset B) và (B subset A).
Hợp của hai tập hợp: (A cup B = {rm{{ }}xleft| {x in A} right.)hoặc (x in B{rm{} }}).
Giao của hai tập hợp: (A cap B = {rm{{ }}xleft| {x in A} right.)và(x in B{rm{} }}).
Hiệu của 2 tập hợp bất kì: (Abackslash B = left{ {xleft| {x in A,x notin B} right.} right}).
Phép lấy phần bù của (A) trong (E)((A subset E)): ({C_E}A = left{ {xleft| {x in E,x notin A} right.} right}).
* Các tập hợp con của tập hợp số thực
(mathbb{N}* subset mathbb{N} subset mathbb{Z} subset mathbb{Q} subset mathbb{R})
Các dạng toán thường gặp
1. Dạng 1: Tìm tập hợp
Phương pháp
Phép liệt kê: (A = left( {{a_1};{a_2};{a_3};...} right))
Nêu tính đặc trưng: (A = left{ {x in X|p(x)} right})
2. Dạng 2: Tìm tập hợp con
Phương pháp
(begin{array}{l}A subset B Leftrightarrow forall x in A Rightarrow x in BA notsubset B Leftrightarrow exists x in A Rightarrow x notin Bend{array})
3. Dạng 3: Hai tập hợp bằng nhau
Phương pháp
(A = B Leftrightarrow A subset B) và (B subset A)
(A ne B Leftrightarrow A notsubset B) hoặc (B notsubset A)
4. Dạng 4: Các phép toán giao, hợp, hiệu
Phương pháp
B1: Liệt kê A, B
B2: (A cap B):Lấy phần tử chung
(A cup B): Lấy phần tử chung và riêng (Chỉ ghi một lần các phần tử giống nhau)
(Abackslash B): Lấy phần tử của A và không phải của B