Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần quan trọng. Nó được ứng dụng rất nhiều để giải các bài toán trong số học. Bảy hằng đẳng thức này bao gồm: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và cuối cùng là hiệu hai lập phương. Hãy cùng Dự báo thời tiết online tổng hợp lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ này nhé!

Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8

Tổng hợp công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức bình phương của một tổng (A + B)²

Định nghĩa: Bình phương của một tổng (A + B)² sẽ bằng với bình phương của số thứ nhất A² cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².

Ta có công thức: (A + B)² = A² + 2AB + B²

Công thức bình phương của một hiệu (A - B)²

Định nghĩa: Bình phương của một hiệu (A - B)² sẽ bằng bình phương của số thứ nhất A² trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².

Ta có công thức: (A - B)² = A² - 2AB + B²

Công thức hiệu hai bình phương A² - B²

Định nghĩa: Hiệu của hai bình phương của hai số A² - B² sẽ bằng hiệu của hai số đó A - B nhân với tổng của hai số đó A + B.

Ta có công thức: A² - B² = (A - B)(A + B)

Công thức lập phương của một tổng (A + B)³

Định nghĩa: Lập phương của một tổng của hai số (A + B)3 sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A3 cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A2B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB2, rồi sau đó cộng với lập phương của số thứ hai B3.

Ta có công thức: (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3

Công thức lập phương của một hiệu (A - B)3

Định nghĩa: Lập phương của một hiệu của hai số (A - B)3 sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A3 trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A2B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB2, rồi sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai B3.

Ta có công thức: (A - B)3 = A3 - 3A2B +3AB2 - B3

Công thức tổng hai lập phương A3 + B3

Định nghĩa: Tổng của hai lập phương của hai số A3 + B3 sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai A + B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A2 -AB + B2.

Ta có công thức: A3 + B3 = (A + B)(A2 -AB + B2)

Công thức hiệu hai lập phương A3 - B3

Định nghĩa: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai A - B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A2 +AB + B2.

Ta có công thức: A3 - B3 = (A - B)(A2 +AB + B2)

Trên đây là công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ được sử dụng thường xuyên trong học tập. Các hằng đẳng thức được ứng dụng để giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức,.... Học thuộc công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

Các công thức hằng đẳng thức mở rộng

Ngoài ra, từ công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong toán học, người ta đã suy ra được các hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng liên quan đến các hằng đẳng thức trên:

Tìm hiểu thêm: 5 công thức tính diện tích tam giác

ThoitietEdu đã tổng hợp đầy đủ và chi tiết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ tại bài viết này. Chính vì vậy các bạn cần nhớ rõ trong đầu để mỗi khi làm bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại các cấp học.

Một số trường hợp áp dụng công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Một số trường hợp áp dụng công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Trường hợp 1: Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: A = x2- 4x + 4 tại x=-1

Trường hợp 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x2-2x+5

Trường hợp 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ 3: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A=4x - x2

Trường hợp 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a+b)3- (a-b)3=2b(3a2+b2)

Trường hợp 5: Tìm giá trị của x

Ví dụ 5: Tìm giá trị của x biết: x2(x-3)-4x+12=0

Trường hợp 6: Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng A≥0 hoặc A≤0). Sau đó dùng các phép biến đổi A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Ví dụ 6: Chứng minh A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết A=x2- x+1

Trường hợp 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A= x2- 4x + 4 - y2

Trường hợp 8: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Ví dụ 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A=(x-1)2+(x+1)(3-x)

Bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài tập vận dụng công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài tập 1: Sử dụng công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và viết các biểu thức sau dưới dạng thích hợp:

• (2x + 1)²
• (2x + 3y)²
• (x + 1)(x - 1)
• m² - n²
• x2 + 6x + 9
• x2 + x + 1/4
• 2xy2 + x2y4 + 1

Bài tập 2: Sử dụng công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:

A=(x + y)² - (x - y)²

Bài tập 3: Tính:

• (x + 2y)2
• (x - 3y)(x + 3y)
• (5 - x)2

Bài tập 4: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Bài tập 5: Chứng minh rằng:

• (a + b)(a2 - ab + b2) + (a - b)(a2 + ab + b2) = 2a3
• (a + b)[(a - b)2 + ab] = (a + b)[a2 - 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
• (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2

Bài tập 6: Chứng tỏ rằng:

• x2 - 6x + 10 > 0 với mọi x
• 4x - x2 - 5 < 0 với mọi x

Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

• P = x2 - 2x + 5
• Q = 2x2 - 6x
• M = x2 + y2 - x + 6x + 10

Vừa rồi, chúng ta đã tìm hiểu công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, lý do vì sao các hằng đẳng thức đó lại quan trọng như vậy, các trường hợp áp dụng 7 hằng đẳng nhớ để giải bài tập. Dự báo thời tiết online mong muốn rằng, bài viết này sẽ mang lại những kiến thức bổ ích cho các bạn, giúp đỡ các bạn trong kỳ thi sắp tới.