Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng cực hay
A. Phương pháp giải
- Bài toán: Tìm hai số u và v biết: u + v = S, u.v = P
- Cách giải:
+ Kiểm tra điều kiện để tồn tại hai số u và v: Nếu S2 < 4P thì không tồn tại hai số u và v, nếu S2 ≥ 4P thì tồn tại hai số u và v
+ Trong trường hợp tồn tại, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0
B. Bài tập
Câu 1: Tìm u - v biết u + v = 15, u.v = 36, u > v
Giải
Vì S = 15, P = 36 thỏa mãn S2 ≥ 4P nên tồn tại hai số u và v
Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 - 15x + 36 = 0
∆ = (-15)2 - 4.36 = 225 - 144 = 81 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Vậy hai số cần tìm là: 12 và 3
Do u > v nên u = 12 và v = 3 ⇒ u - v = 12 - 3 = 9
Câu 2: Tìm hai số x, y biết x2 + y2 = 61 và xy = 30
Giải
Theo giả thiết ta có:
+ Xét TH1: x + y = 11 và xy = 30
Với S = 11, P = 30 thì S2 = 121 > 4P = 120 nên tồn tại hai số x và y
Hai số x và y là nghiệm của phương trình x2 - 11x + 30 = 0
∆ = (11)2 - 4.30 = 121 - 120 = 1 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Vậy hai số cần tìm là: x = 5, y = 6 hoặc x = 6, y = 5
+ Xét TH2: x + y = -11 và xy = 30
Với S = -11, P = 30 thì S2 = 121 > 4P = 120 nên tồn tại hai số x và y
Hai số x và y là nghiệm của phương trình: x2 + 11x + 30 = 0
∆ = (-11)2 - 4.30 = 121 - 120 = 1 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Vậy hai số cần tìm là: x = -5, y = -6 hoặc x = -6, y = -5
Kết hợp 2 trường hợp ta tìm được 4 cặp số x,y thỏa mãn đầu bài
x = 5, y = 6 hoặc x = 6, y = 5 hoặc x = -5, y = -6 hoặc x = -6, y = -5
Câu 3: Cho phương trình x2 - 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình
Giải
Theo Vi-et ta có: x1 + x2 = 7 (1)
Mặt khác theo giả thiết hiệu 2 nghiệm bằng 11 nên: x1 - x2 = 11 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
Ta có: x1x2 = q = 9.(-2) = -18
Vậy q = -18 và 2 nghiệm của phương trình là 9 và -2
Câu 4: Cho phương trình x2 - qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình
Giải
Theo Vi-et ta có: x1x2 = 50 (1)
Mặt khác theo giả thiết,phương trình có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia nên: x1 = 2x2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
Với x1 = 10, x2 = 5 thì:
Với x1 = -10, x2 = -5 thì:
Câu 5: Tìm hai số biết
a. Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11
b. Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180
Giải
a. Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S2 ≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìm
Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 - 8x + 11 = 0
∆ = (-8)2 - 4.11 = 64 - 44 = 20 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Vậy hai số cần tìm là:
b. Với S = 17, P = 180 thì S2 = 289 < 4P = 720 nên không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài
Câu 6: Tìm hai số u và v biết
a. u + v = 15 và u.v = 36
b. u + v = 4 và u.v = 7
c. u + v = -12 và u.v = 20
Giải
a. Với S = 15, P = 36 thì S2 = 225 > 4P = 144 nên tồn tại hai số u và v
Hai số u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 15x + 36 = 0
∆ = (-15)2 - 4.36 = 225 - 144 = 81 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Vậy hai số cần tìm là: u = 12, v = 3 hoặc u = 3, v = 12
b. Với S = 4, P = 7 thì S2 = 16 < 4P = 28 nên không tồn tại hai số u,v thỏa
mãn yêu cầu của đề bài
c. Với S = -12, P = 20 thì S2 = 144 > 4P = 80 nên tồn tại hai số u và v
Hai số u và v là nghiệm của phương trình x2 + 12x + 20 = 0
∆ = (12)2 - 4.20 = 144 - 80 = 64 > 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Vậy hai số cần tìm là: u = -2, v = -10 hoặc u = -10, v = -2