Đề bài
Cho hàm số (y = f(x) = a{x^2} + bx + c) với đồ thị là parabol (P) có đỉnh (Ileft( {frac{5}{2}; - frac{1}{4}} right)) và đi qua điểm (A(1;2))
a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng (y = a{(x - h)^2} + k), tron đó I(h;k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.
b) Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số (y = f(x))
c) Giải bất phương trình (f(x) ge 0)
Lời giải chi tiết
a) Parabol: (y = a{(x - h)^2} + k) với (I(h;k) = left( {frac{5}{2}; - frac{1}{4}} right)) là tọa độ đỉnh.
( Rightarrow y = a{left( {x - frac{5}{2}} right)^2} - frac{1}{4})
(P) đi qua (A(1;2)) nên (2 = a{left( {1 - frac{5}{2}} right)^2} - frac{1}{4} Rightarrow a = 1)
( Rightarrow y = {left( {x - frac{5}{2}} right)^2} - frac{1}{4} Leftrightarrow y = {x^2} - 5x + 6)
Vậy parabol đó là (y = {x^2} - 5x + 6)
b) Vẽ parabol (y = {x^2} - 5x + 6)
+ Đỉnh (Ileft( {frac{5}{2}; - frac{1}{4}} right))
+ Giao với Oy tại điểm ((0;6))
+ Giao với Ox tại điểm ((3;0)) và ((2;0))
+ Trục đối xứng (x = frac{5}{2}). Điểm đối xứng với điểm ((0;6)) qua trục đối xứng có tọa độ ((5;6))
b) Hàm số đồng biến trên khoảng (left( { - frac{5}{2}; + infty } right))
Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { - infty ; - frac{5}{2}} right))
c) (f(x) ge 0 Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 ge 0)
Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy các điểm có(y ge 0) ứng với hoành độ (x in ( - infty ;2] cup [3; + infty ))
Do đó tập nghiệm của BPT (f(x) ge 0) là (S = ( - infty ;2] cup [3; + infty ))
Cách 2:
(begin{array}{l} Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 ge 0 Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) ge 0end{array})
Do đó (x - 2) và (x - 3) cùng dấu. Mà (x - 2 > x - 3;forall x in mathbb{R})
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x - 3 ge 0x - 2 le 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x ge 3x le 2end{array} right.)
Tập nghiệm của BPT là (S = ( - infty ;2] cup [3; + infty ))